igualdad entre números naturales.
todos los conjuntos coordinables entre si tienen el mismo numero cardinal . por tanto podemos decir que : números iguales son los que representan conjuntos coordinables.
si en un tranvía cada persona ocupa un asiento de modo que no queda ningún asiento vació ni ninguna persona de pie, ambos conjuntos están coordinados, luego si a es un numero que representa el conjunto de personas y b el numero que representa el conjunto de asientos, tendremos que los números a y b son iguales (o son el mismo numero), lo cual se expresa por la notación. a = b (se lee a igual b)
la expresión a= b es una desigualdad en la cual a que esta a la izquierda del = en el primer miembro y b que esta a la derecha del signo = es el segundo miembro.
desigualdad entre números naturales
desigualdad entre números naturales
números desiguales son los que representan conjuntos no coordinables, es decir que no tienen igual numero cardinal. ejemplo: si en un tranvía no es posible lograr que cada pasajero ocupe un asiento y cada asiento este ocupado por una sola persona, ambos conjuntos no son coordinables y ello obedecerá a que hay mas personas que asientos o mas asientos que personas. entonces, si a es el numero que representa el conjunto de personas y b el numero que representa el conjunto de asientos, diremos que aes desigual a b,
si hay mas personas que asientos, después que cada asiento este ocupado por una persona, quedaran personas de pie; entonces el conjunto de los asientos esta coordinado con una parte del conjunto de personas y en este caso diremos que el numero de personas a es mayor que el numero de asientos b, o que el numero de asientos es menor que el numero de personas lo cual se expresa con la siguiente notación. a > b o b < a.
luego, un numero a es mayor que otro numero b cuando el conjunto que representa b es coordinables con una parte del conjunto que representa a.
si hay mas asientos que personas o menos personas que asientos, después que cada persona ocupe un asiento quedaran asientos vacíos entonces el conjunto de personas estará coordinado con una parte del conjunto de asientos y en este caso diremos que el numero de personas a es menor que el numero de asientos b o que el numero de asientos es mayor que el numero de personas, lo que expresa con la notación a < b o b > a
postulado de relación:
dados dos números a y b necesariamente tiene que verificarse una y solo una de estas tres posibilidades:
a=b, a>b o a<b
estas tres posibilidades se completan, es decir, necesariamente tiene que verificarse una de ellas estas posibilidades se excluyen mutuamente, es decir, que si se verifica una de ellas las otras dos no se pueden verificar, ejemplo: si a=b, no es a>b ni a<b
si a>b, no es a=b ni a<b
si a<b, no es a=b n a>b
leyes de la igualdad
1. carácter idéntico. todo numero es igual a si mismo
a=a
2. carácter reciproco. si un numero es igual a otro, y este es igual al primero así:
si:a=b, b=a
si la edad de pedro es igual a la de rosa, la de rosa es igual a la de pedro.
el carácter reciproco de las igualdades les permite invertir los dos miembros de una igualdad sin que esta varié.
3. carácter transitivo. si un numero es igual a otro y este es igual a un tercero el primero es igual al tercero.
así: si: a=b y b=c, a=c
si la edad de pedro es igual a la juan y la de juan es igual a de enrique , pedro y enrique tienen la misma edad.
el carácter transitivo de las igualdades se suele enunciar diciendo que dos cosas iguales a una tercera son iguales ente si o también que si dos igualdades tiene un miembro común, con los otos dos miembros se puede formas igualdad
leyes de la igualdad
en la desigualdad no existe el carácter idéntico pues es imposible que un numero mayor o menor que el mismo. así es imposible que m>m o que n>n.
tampoco existe el carácter reciproco.si un numero es mayor que otro, este ultimo no puede ser mayor que el primero, sino menor. así siendo a>b no se verifica que b>a , sino que b<a.
carácter transitivo de las relaciones de mayor y menor
1. si un numero es mayor que otro y este es mayor que un tercero, el primero es mayor que el tercero.
así, si: a>b y b>c, a>c
2. si un numero es menor que otro y este es menor que un tercero, el primero es menor que el tercero.
así, si:a<b y b<c, a<c
ejemplo: si pedro tiene mas peso y yo años y enrique tiene mas primos que pesos tiene pedro, mis años son menores que los primos de enrique
operaciones indicadas de suma y resta.
operaciones indicadas de suma y resta en que no hay signos de agrupación.
estas operaciones se efectúan en el orden que se hallan.
ejemplos:
efectuar:
5+4-3+2
diremos:5+4=9 ;9-3=6;6+2=8, luego:
5+4-3+2=8 R//
2.efectuar 8-3+4-1+9-7
diremos: 8-3=5; 5+4=9;9-1=8;8+9=17;17-7=10
luego:8-3+4-1+9-7=10 R//
operaciones indicadas en que hay signos de agrupación
deben efectuarse en este orden:
primero, las operaciones encerradas dentro de los paréntesis hasta convertirlas en un solo numero y luego efectuar las operaciones que queden indicadas. ejemplo: efectuar (7-2)+(5+4)-(3-2)
efectuamos primero las operaciones indicadas entre los paréntesis
7-2=5, 5+4=9, 3-2=1 y tendremos
(7-2)+(5+4)-(3-2)= 5+9-1=13 R//
efectuar 30+[84-(7-2)]cuando hay un signo de agrupación encerrado dentro de otro, debe efectuarse primero la operación encerrada en el mas interior. así en este caso efectuamos primero la operación (7-2)=5 y tendremos
30+[84-(7-2)]=30+[84-5]=30+79=109 R//
suma de un numero y una suma indicada
para sumar un numero con una suma indicada se suma el numero con uno cualquiera de los sumando de la suma
sea la operación (2+3+4)+5 decimos que:
(2+3+4)+5=2+(3+5)+4=14
en general: (a+b+c)+d= a+(b+d)+c
suma de dos sumas indicadas
para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumando que las forman.
sea la operación (5+6)+(7+8) decimos que:
(5+6)+(7+8)=5+6+7+8=26 R//
en general (a+b)+(c+d+e)=a+b+c+d+e
suma de un numero y una diferencia indicada
para sumar un numero con una diferencia indicada, se suma el numero con el minuendo y de esta suma se resta el sustraendo. sea la operación (7-5)+4. decimos que
(7-5)+4 = (7+4)-5=11-5=6 R//
en general (a-b)+c= (a+c)-b
suma de diferencias indicadas.
para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los minuendos y de esta suma se resta la suma de los substraendos.
sea la operación (8-5)+(6-4). decimos que:
(8-5)+(6-4) =(8+6)-(5+4)= 14-9=5 R//
en general: (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)
suma de una suma y una diferencia indicada
para sumar una suma con una diferencia indicada se suma el minuendo con uno de los sumando de la suma y de esta suma se resta el substraendo.
sea la operación (4+5)+(8-6). decimos que:
(4+5)+(8-6)= (4+5+8)-6=17-6=11 R//
en general: (a+b)+(c-d)=(a+b+c)-d
resta
resta de un numero y una suma indicada.
para restar de un numero una suma indicada, se resta el numero, uno a uno, todos los sumando de la suma.
sea la operación 25-(2+3+4). decimos que:
25-(2+3+4)=25-2-3-4=16 R//
en general: a-(b+c+d)= a-b-c-d
resta de una suma indicada y un numero
para restar de una suma indicada un numero, se resta el numero de cualquier sumando de la suma
sea la operación ( 4+5+6)-3. probar que:
( 4+5+6)-3 =(4-3)+5+6= 12 R//
en general: (a+b+c)-d= (a-d)+b+c
resta de un numero y una diferencia indicada
para restar de un numero una diferencia indicada, se suma el substraendo con el numero y de esta suma se resta el minuendo.
sea la operación 50-(8-5). decimos que:
50-(8-5)= (50+5)-8=47 R//
en general: a-(b-c)=(a+c)-b
resta de una diferencia indicada y un numero
para restar de una diferencia indicada un numero, se resta del minuendo la suma del substraendo y el numero.
sea la operación (15-7)-6 decimos que
(15-7)-6 = 15-(7+6)=15-13=2 R//
en general: (a-b)-c= a-(b+c)
resta de dos sumas indicadas.
para restar dos sumas indicadas se resta de la primera suma, uno a uno, todos los sumando de la segunda suma.
sea la operación. (4+5)-(2+3). decimos que :
(4+5)-(2+3).=4+5-2-3 =4 R//
en general: (a+b)-(c+d)=a+b-c-d
resta de dos diferencias indicadas
para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la primera con el substraendo de la segunda y de esta suma se resta la suma del substraendo de la primera con el minuendo de la segunda.
sea la operación (8-1)-(5-3). decimos que:
(8-1)-(5-3) =(8+3)-(5+1)=11-6=5 R//
en general: (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c)
resta de una suma y una diferencia indicadas.
para restar de una suma una diferencia indicada, se suma el substraendo con la suma indicada y de esta suma se resta el minuendo. sea la operación: (8+4)-(3-2) probar que:
(8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3=14-3= 11 R//
en general: (a+b)-(c-d)=(a+b+d)-c
casos particulares
la suma de dos números mas su diferencia es igual al duplo del mayor
sean los números 8 y 5. decimos que: (8+5)+(8-5)=2x8=16.
en efecto: sabemos que para sumar una suma con una diferencia se suma el minuendo de la diferencia con uno de los sumándole la suma y de esta suma se resta el substraendo, luego:
(8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-5=8+8=2x8
en general: (a+b)+(a-b)=2a.
la suma de dos números menos su diferencia es igual al duplo del menor.
sean los números 8 y 5 decimos que:(8+5)-(8-5)=2x5=10
en efecto: sabemos que para restar de una suma una diferencia se suma el substraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo, luego:
(8+5)-(8-5)=8+5-8-5=8-8+5+5=5+5=2x5
en general (a+b)-(a-b)=2b
x
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